Wiskunde

Achtergrondinfo: logica

• $\forall x$: voor alle $x$
• $\exists x$: er bestaat een $x$
• $\exists! x$: er bestaat exact één $x$
• implicatie $a \implies b$: als $a$ dan $b$
• equivalentie $a \iff b$: $a$ als en slechts als $b$
  • $a \implies b$ en $b \implies a$

Achtergrondinfo: verzamelingenleer

• objecten of elementen $a,b,c$
• verzamelingen $A,B,C$
• $a \in A$ of $a \not\in A$
• kardinaalgetal $\#A$
  • alternatieve notatie: $|A|$
• deelverzameling $B \subset A \iff (\forall x: x \in B \implies x \in A)$
  • onder $\subset$ verstaan we hier eigenlijk $\subseteq$
    • cf. $<$ en $\leq$
    • dus $A \subset A$
  • niet hetzelfde als $B \in A$
• twee soorten definities
  • $A = \{a, b, c\}$
  • $B = \{x \in X \mid x \text{ voldoet aan bepaalde regel}\}$
    • gevolg: $B \subset X$
• voorgedefinieerde verzamelingen
  • lege verzameling $\varnothing = \emptyset = \{\}$
    • $\forall x: x \not\in \varnothing$
    • $\varnothing \neq \phi$ (phi)
  • universele verzameling $\mathcal{U}$
    • $\forall x: x \in \mathcal{U}$
  • natuurlijke getallen $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$
  • gehele getallen $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
  • rationale getallen $\mathbb{Q}$
  • reele getallen $\mathbb{R}$
  • complexe getallen $\mathbb{C}$
  • variaties
    • $X^+ = \{x \in X \mid x \geq 0\}$
    • $X^- = \{x \in X \mid x \leq 0\}$
    • $X_0 = \{x \in X \mid x \neq 0\}$
      • opgepast: in sommige andere teksten betekent $X_0 = X \cup \{0\}$
  • interval voor $a,b \in \mathbb{R}$ met $a \leq b$
    • $[a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$: gesloten interval
    • $[a,b\mathclose[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$: rechts half open interval
    • $]a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$: links half open interval
    • $]a,b\mathclose[= \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$: open interval
    • een grenspunt op $\pm \infty$ is altijd open
    • in sommige boeken schrijven ze $]a,b[$ als $(a,b)$
• machtsverzameling
• doorsnede $A \cap B = \{x \mid x \in A$ en $x \in B\}$
  • $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap \ldots \cap A_n$
• unie $A \cup B = \{x \mid x \in A$ en/of $x \in B\}$
  • $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i = A_1 \cup \ldots \cup A_n$
• verschil $A \setminus B = \{x \mid x \in A$ en $x \not\in B\}$
  • backslash, geen gewone slash
• complement $A^\complement = \mathcal{U} \setminus A$
  • alternatieve notatie: $\overline A$
• Cartesisch product $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A$ en $b \in B\}$
  • genoemd naar René Descartes
  • koppel $(a, b)$: een geordende verzameling van twee elementen
    • notatie: haakjes, geen accolades
  • bv. $\{a,b,c\} \times \{d,e\} = \{(a,d), (a, e), (b, d), (b,e), (c,d), (c,e)\}$
  • cf. $(a+b+c) \cdot (d+e) = ad+ae+bd+be+cd+ce$ (distributiviteit)
  • $\#(A \times B) = \#A \cdot \#B$
  • notatie: $\underbrace{A \times \ldots \times A}_n = A^n$
    • bv. $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$
  • $\#(A^n) = (\#A)^n$
• volgorde - bij (ongeordende) verzamelingen - $\{a,b\} = \{b,a\}$ - bij koppels en andere geordende verzamelingen - $(a,b) \neq (b,a)$
• grafische voorstelling: Venn diagram
• partitie: opsplitsing in een stel niet-lege, niet-overlappende deelverzamelingen
  • voorbeeld: opsplitsing $\mathbb N$ in even en oneven getallen

Algebra

• enkel in $\mathbb R$, niet in $\mathbb C$

Bewerkingen met reële getallen en rekenregels

• termen zijn onderdelen van een som of verschil
• factoren zijn onderdelen van een product of deling
• volgorde van bewerkingen
  1. haakjes
  2. machten en wortels
  3. wisselen van teken
  4. producten en delingen (van links naar rechts)
  5. sommen en verschillen (van links naar rechts)
• eigenschappen
  • associatief
    • $(a + b) + c = a + (b + c)$
    • $(a - b) - c \neq a - (b - c)$
    • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
    • $\dfrac{\frac{a}{b}}{c} \neq \dfrac{a}{\frac{b}{c}}$
      • het is belangrijk welke breukstreep de grootste is
  • commutatief
    • $a + b = b + a$
    • $a - b \neq b - a$
    • $a \cdot b = b \cdot a$
    • $\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$
  • distributief
    • $a \cdot (b+c) = ab + ac$
  • neutraal element
    • $a + 0 = a - 0 = a$
    • $a \cdot 1 = \frac{a}{1} = a$
  • opslorpend element
    • $a \cdot 0 = 0$
  • formeel: $<\mathbb R, +, \cdot>$ is een veld
• merkwaardige producten
  • $(a \pm b)^2 \neq a^2 \pm b^2$
  • $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
  • $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
  • volgt rechtstreeks uit distributiviteit
  • algemeen: binomium van Newton
    • $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k}b^{n-k}$
    • zie ook driehoek van Pascal
• breuken
  • $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb Z, b \in \mathbb Z_0\}$
    • deeltal $a$ in teller
    • deler $b$ in noemer
  • tegengestelde
    • $-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}$
  • omgekeerde of reciproque
    • $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}$
  • vereenvoudigen
    • $\dfrac{a\cancel{c}}{b\cancel{c}} = \dfrac{a}{b}$
  • som en verschil
    • $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{b} = \dfrac{a \pm c}{b}$
    • $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} \pm \dfrac{cb}{db} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$
  • product
    • $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$
  • deling
    • $\dfrac{a}{\frac{b}{c}} = \dfrac{ac}{b}$: teller en noemer maal $c$
    • $\;\;\;\dfrac{\frac{a}{b}}{c} = \dfrac{a}{bc}$: teller en noemer maal $b$
    • $\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \dfrac{d}{c}$: teller en noemer maal $bd$
  • macht
    • $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
  • gelijkheid
    • $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff \dfrac{ad}{bd} = \dfrac{cb}{db} \iff ad \overset{\mathbb Z}{=} bc$
• percentages
  • $x\% = \dfrac{x}{100}$
  • $a \pm x\% = a \pm a \cdot \dfrac{x}{100} = a \cdot (1 \pm \dfrac{x}{100})$
  • $a + x\% - x\% = a(1 + \dfrac{x}{100})(1 - \dfrac{x}{100}) \neq a$
• sommatieteken (hoofdletter sigma)
  • $\displaystyle \sum_{i=1}^n i = 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n$
  • $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_{n-1} + x_n$
  • $\displaystyle \sum_{x_i \in X} x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_{n-1} + x_n$
    • met $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}$
  • rekenregels
    • $\displaystyle \sum_{i=1}^n c = \underbrace{c + \ldots + c}_n = nc$
    • $\displaystyle \sum_i (ax_i + by_i) = a\sum_i x_i + b\sum_i y_i$
    • $\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^m x_{ij} \right) = \sum_{j=1}^m \left( \sum_{i=1}^n x_{ij} \right) = \displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m x_{ij}$
    • $\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \left( \sum_{j=1}^m y_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m x_i y_j$
    • $\displaystyle \left( \sum_i x_i \right)^2 \neq \sum_i x_i^2$
      • cf. merkwaardige producten
• faculteit
  • $0! = 1$
  • $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N_0}: n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Rekenen met ongelijkheden en absolute waarden van reële getallen

Ongelijkheden

• kleiner/groter dan: $\leq$ en $\geq$
• strikt kleiner/groter dan: $<$ en $>$
  • $\forall a, b \in \mathbb{N}: a \leq b \implies a < b + 1$
  • onderscheid relevant in $\mathbb{N}$, minder in $\mathbb{R}$
• complementen
  • groter wordt kleiner en vice versa
  • strikt wordt niet-strikt en vice versa
  • voorbeeld
    • $\mathcal{U} = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
    • $A = \{ x \mid x \leq 3 \}$
    • $B = \{ x \mid x \geq 3 \}$
    • $A^\complement = \{ x \mid x > 3 \} \neq B$
    • $B^\complement = \{ x \mid x < 3 \} \neq A$

• rekenregels voor $\leq$
  • $a \leq b$ en $b \leq c \implies a \leq c$
  • $a \leq b$ en $a \geq b \implies a=b$
  • $a \leq b \iff a \pm c \leq b \pm c$
  • $a \leq b \iff ac \leq bc$ als $c > 0$
  • $a \leq b \iff ac \geq bc$ als $c < 0$
  • $a \leq b \iff -a \geq -b$
  • $a \leq b \iff \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}$ als $a, b$ zelfde teken hebben
  • $a \leq b \iff\;\; \dfrac{1}{a} \leq \dfrac{1}{b}$ als $a, b$ ander teken hebben
  • $a \leq b \iff \log a \leq \log b$
    • geldig voor alle strikt monotoon stijgende functies
  • tip: test bij twijfel met een paar kleine getallen
    • $2 \leq 4 \iff -2 \geq -4 \iff \dfrac{-1}{2} \leq \dfrac{-1}{4} \iff -0.50 \leq -0.25$

Absolute waarde

$$|x| = \begin{cases} +x &\mid x \geq 0\\ -x &\mid x < 0 \end{cases}$$

• $|x| \geq 0$
• $|x-y| = |y-x|$: afstand tussen $x$ en $y$ in één dimensie

Rekenregels van machtsverheffing en logaritme

Machtsverheffing

• grondtal $b$
• exponent $n$
• rekenregels
  • niet commutatief: $b^n \neq n^b$
  • niet associatief: $(b^n)^m \neq b^{(n^m)}$
  • $b^0 = 1$
  • $b^1 = b$
  • $b^n = \underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n} \mid n \in \mathbb{N_0}$
  • $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
  • $b^{n+m} = b^n b^m$
  • $b^{n-m} = \frac{b^n}{b^m}$
  • $b^{nm} = (b^n)^m$
  • $b^\frac{n}{m} = (b^\frac{1}{m})^n = (b^n)^\frac{1}{m} = \sqrt[m]{b^n}$ ($m$-de machtswortel)
  • $b^{n^m} = b^{(n^m)}$
  • $(bc)^n = b^n c^n$
  • $(b + c)^n \neq b^n + c^n$

Logaritme

• zie exponentiële en logaritmische functies

Evenredigheid en omgekeerde evenredigheid

• tussen grootheden $x$ en $y$
• recht evenredig
  • $x \sim y \iff \exists c \in \mathbb R_0: x=cy$
  • grafiek: rechte door de oorsprong
• omgekeerd evenredig
  • $x \sim \frac{1}{y} \iff \exists c \in \mathbb R_0: xy=c$
  • grafiek: hyperbool

Achtergrondinfo: vergelijkingen

• linkerlid $=$rechterlid
• $x \pm a = y \iff x = y \mp a$
• $x \pm \cancel{a} = y \pm \cancel{a} \iff x = y$
• $ax = y \iff x = \dfrac{y}{a}$
• $\cancel{\pm a}x = \cancel{\pm a}y \iff x=y \mid a \neq 0$
• $x^a = y \iff x = \sqrt[a]{y}$
• $a^x = y \iff x = \log_a y$
• $|ax + b| = c$
  • $ax+b \geq 0 \implies ax+b=c \iff ax=c-b \iff x=\frac{c-b}{a}$
  • $ax+b < 0 \implies -(ax+b)=c \iff -ax=c+b \iff x=\frac{-c-b}{a}$

Reële oplossingen van vierkantsvergelijkingen

• zie veeltermen van graad 2

Veeltermen met reële coëfficiënten: bewerkingen, ontbinden in factoren, veeltermvergelijkingen

• polynoom of veelterm $p(x) = \sum_{k=0}^n c_k x^k$ in één onbekende ($x$)
• coëfficiënten $c_k \in \mathbb R$
• term $c_k x^k$ heeft graad $k$
• graad van veelterm: hoogste graad van termen met $c_k \neq 0$
• nulpunt $x^\ast \iff p(x^\ast) = 0$
• ontbinden in factoren
  • hoofdstelling algebra: $p(x) = a(x-x_1)\cdot\ldots\cdot(x-x_n)$
    • veelterm van graad $n$ heeft exact $n$ nulpunten in $\mathbb C$
    • niet altijd mogelijk in $\mathbb R$
    • multipliciteit van nulpunt moet in acht genomen worden
      • voorbeeld: $p(x)=x^2=(x-0)^2$ heeft één nulpunt van multipliciteit twee in $x=0$
  • schema van Horner
    • gegeven: veelterm $p(x)$ en waarde $a \in \operatorname{dom} f$
    • doel: deel veelterm $p(x)$ door $d(x)=(x-a)$
    • dan krijgen we $\frac{p(x)}{d(x)} = q(x) + \frac{r}{d(x)}$
    • $\iff p(x)=q(x)d(x)+r=q(x)(x-a)+r$
    • met
      • graad $p(x): n$
      • graad $d(x): 1$
      • graad $q(x): n-1$
      • graad $r: 0$
    • merk op: $p(a) = q(a) \cdot 0 + r = r$
    • als rest $r=0$
      • dan is $p(x) = q(x)(x-a)$
      • dan is $a$ een nulpunt van $p(x)$
      • dan staan we een stap verder in het ontbinden in factoren
      • kan enkel als $a$ een deler is van $c_0$
    • zie ook rationale functies
    • voorbeeld voor veelterm van graad $3$
      • in de bovenste rij staan de coëfficiënten van $p(x)$
        • vergeet geen nullen toe te voegen voor ontbrekende termen
      • het laatste getal in de onderste rij is de rest $r$
      • de andere getallen in de onderste rij zijn de coëfficiënten van $q(x)$

	$c_3$	$c_2$	$c_1$	$c_0$
$a$		$ac_3$	$a(c_2+ac_3)$	$a(c_1+a(c_2+ac_3)$
	$c_3$	$c_2+ac_3$	$c_1+a(c_2+ac_3)$	$c_0 + a(c_1+a(c_2+ac_3)$

• veeltermvergelijkingen: $p(x) = q(x)$
  • herschrijf als $p(x) - q(x) = 0$
  • vereenvoudig: verschil van twee veeltermen is opnieuw veelterm
  • zoek nulpunten

Veeltermen van graad 0: constante functies

• grafiek: horizontale rechte
• $f(x) = a$
• geen nulpunten (tenzij $a=0$)

Veeltermen van graad 1: lineaire functies

• grafiek: rechte
• $f(x) = ax + b$
  • richtingscoefficient (rico) $a$ (Engels: slope)
    • hellingshoek $\alpha = \arctan(a)$
    • onderlinge stand twee rechten met rico's $a_1$ en $a_2$
      • samenvallend of parallel: $a_1 = a_2$
      • snijdend: $a_1 \neq a_2$
        • loodrecht: $a_1 \cdot a_2 = -1$
  • snijpunt verticale as $(0,b)$ (Engels: intercept)
• nulpunt
  • $ax+b = 0 \iff x = \dfrac{-b}{a}$
• rechte door punten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$
  • optie 1
    • $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
    • $b = f(x_1) - ax_1 = y_1 - ax_1$
    • $y = ax + b$
  • optie 2
    • vereenvoudig $y-y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$
  • oplossing is uniek

Veeltermen van graad 2: kwadratisch functies

• grafiek: parabool
• $f(x) = ax^2 + bx + c$
  • dalparabool: $a > 0$
  • bergparabool: $a < 0$
• top: $x=\dfrac{-b}{2a}$
• nulpunten
  • discriminant $D = b^2 - 4ac$
  • $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \mid D \geq 0$
    • langs beide kanten op afstand $\dfrac{\sqrt{D}}{2a}$ van de top
  • samenvallend als $D=0$
  • geen nulpunten in $\mathbb{R}$ als $D<0$
• parabool door nulpunten $x_1$ en $x_2$
  • $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = a(x^2 -(x_1 + x_2)x + x_1x_2) = a(x^2 -Sx + P)$
  • som $S = x_1 + x_2$
  • product $P = x_1 x_2$
  • toepassing: op het zicht nulpunten zoeken
    • voorbeeld: $x^2-3x+2$
    • $\implies S=3,P=2$
    • $\iff x_1=1, x_2=2$
  • bepaal $a$ a.h.v. een extra gegeven coordinaat waar de parabool door loopt

Stelsels vergelijkingen van de eerste graad met hoogstens drie onbekenden

• $n$ onbekenden
• $n$ lineair onafhankelijke vergelijkingen nodig om unieke oplossing te vinden
• aantal oplossingen
  • $0$ als twee of meer vergelijkingen elkaar tegenspreken
    • voorbeeld
      • $x + y = 2$
      • $2x + 2y = 2$
  • $1$ als alles goed gaat
  • $\infty$ als niet alle vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn
    • een afhankelijke vergelijking bevat geen nieuwe info bovenop de andere vergelijkingen
    • dus kom je een vergelijking te kort
• dus stelsel van drie vergelijkingen nodig om drie onbekenden ($x, y, z$) te vinden

$$\left\{ \begin{array}{ll} ax + by + cz = d \\ ex + fy + gz = h \\ ix + jy + kz = l \\ \end{array} \right.$$

• technieken
  • optie 1: substitutie
    • schrijf $z$ in functie van $x$ en $y$ o.b.v. de eerste vergelijking
      • $z = \frac{1}{c}(d - ax - by)$
    • vervang $z$ overal in de twee andere vergelijkingen
      • $ex + fy + \frac{g}{c}(d - ax - by) = h$
      • $ix + jy + \frac{k}{c}(d - ax - by) = l$
    • nu heb je nog twee vergelijkingen met twee onbekenden ($x$ en $y$)
    • schrijf $y$ in functie van $x$ o.b.v. de tweede vergelijking
      • $(f + \frac{gb}{c})y = h - ex - \frac{g}{c}(d - ax)$
      • $\iff y = \frac{c}{fc+gb}(h - ex - \frac{g}{c}(d - ax))$
    • vervang $y$ overal in de laatste vergelijking
    • nu heb je nog 1 vergelijking met 1 onbekende
    • los deze vergelijking op naar $x$
    • bereken $y$ o.b.v. de gevonden $x$ waarde
    • bereken $z$ o.b.v. de gevonden $x$ en $y$ waarden
    • onbekenden en vergelijkingen mogen ook in andere volgorde behandeld worden
  • optie 2: eliminatie
    • volgende bewerkingen veranderen het resultaat niet
      • twee vergelijkingen van plaats wisselen
      • een vergelijking met $\alpha \in \mathbb R_0$ vermenigvuldigen
      • bij een vergelijking een veelvoud van een andere vergelijking optellen
    • basis van Gauss-eliminatie als je met matrices werkt
    • gebruik deze techniek om onbekenden te elimineren

Bewerkingen met matrices met hoogstens drie rijen en vier kolommen

• matrix $M \in \mathbb R^{m \times n}$
  • $m$ rijen
  • $n$ kolommen
  • vierkante matrix als $m=n$

$$\begin{bmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ \end{bmatrix}$$

Bewerkingen

• optelling
  • associatief
  • commutatief

$$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} e & f\\ g & h\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\pm e & b\pm f\\ c\pm g & d\pm h\\ \end{bmatrix}$$

• scalaire vermenigvuldiging
  • scalar $\lambda$

$$\lambda \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda a & \lambda b & \lambda c\\ \lambda d & \lambda e & \lambda f\\ \end{bmatrix}$$

• vermenigvuldiging
  • $A \in \mathbb R^{m \times n}$ en $B \in \mathbb R^{n \times p} \implies AB \in \mathbb R^{m \times p}$
  • $[AB]_{i,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r} b_{r,j}$
  • associatief
  • niet commutatief: $AB \neq BA$

$$\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} g & h\\ i & j\\ k & l \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ag+bi+ck & ah+bj+cl\\ dg+ei+fk & dh+ej+fl \end{bmatrix}$$

• getransponeerd

$$\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} a & d\\ b & e\\ c & f \end{bmatrix}$$

• determinant van een $2 \times 2$ matrix

$$\det \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

Speciale matrices

• nulmatrix

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

• identiteitsmatrix of eenheidsmatrix $I$
  • $I^n = I$
  • $I^{-1} = I$
  • $I^T = I$
  • $AI = A = IA$
  • $AA^{-1} = I = A^{-1}A$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• diagonaalmatrix

$$\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$$

Meetkunde

• enkel vlakke meetkunde (2D), geen ruimtemeetkunde (3D)
• hoeken
  • scherp: $< 90^\circ$
  • recht: $= 90^\circ$
  • stomp: $> 90^\circ$
• TODO
  • orthonormaal assenkruis / cartesisch assenstelsel
    • oorsprong $O$
    • twee loodrechte assen
      • horizontale $x$-as
      • verticale $y$-as
    • coördinaten $(x,y)$ bepalen locatie in assenstelsel t.o.v. oorsprong
  • punt
  • rechte
  • lijnstuk
  • vlak
  • lengte, oppervlakte, inhoud/volume
  • 2D vector $\vec x = (x_1, x_2)$
    • lengte of Euclidische norm $||\vec x|| = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$
    • richting
    • zin
    • aangrijpingspunt, meestal impliciet $\vec 0$
    • som
    • inproduct $\vec x \cdot \vec y$
    • uitproduct = kruisproduct $\vec x \times \vec y$ (enkel in 3D)
  • afstand
    • $||\vec x - \vec y|| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}$
    • cf. Pythagoras
  • vlakke figuur
  • congruent/gelijkvormig

Eigenschappen van driehoeken, vierhoeken en cirkels

Driehoeken

• som hoeken: $(n-2)\pi = \pi = 180^\circ$
• types
  • gelijkbenige driehoek
    • twee gelijke zijden
    • twee gelijke hoeken
  • gelijkzijdige driehoek
    • drie gelijke zijden
    • drie gelijke hoeken van $60^\circ$
  • rechthoekige driehoek
    • één hoek van $90^\circ$
• omtrek: som zijden
• oppervlakte: $\frac{bh}{2}$
  • basis $b$
  • hoogte $h$
  • helft van parallellogram
• sinusregel: $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2r$
  • $a$: lengte van overstaande zijde van hoek $\alpha$
    • idem voor $b, \beta$ en $c, \gamma$
  • $r$: straal omgeschreven cirkel
• cosinusregel: $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
  • alternatief: bereken $a^2$ o.b.v. $\alpha$ of $b^2$ o.b.v. $\beta$
• stelling van Pythagoras: $c^2 = a^2 + b^2$
  • enkel in rechthoekige driehoek
    • cf. cosinusregel met $\gamma=90^\circ$
  • $c$: lengte van schuine zijde
  • typische combinatie: $a=3,b=4,c=5$ (of veelvoud daarvan)
• TODO
  • bissectrice
    • snijden in middelpunt ingeschreven cirkel
  • hoogtelijn
    • snijden in hoogtepunt
  • zwaartelijn
    • snijden in zwaartepunt
  • loodlijn
  • middelloodlijn
    • snijden in middelpunt omgeschreven cirkel

Vierhoeken

• som hoeken: $(n-2)\pi = 2\pi = 360^\circ$
• omtrek: som zijden
• trapezium: vierhoek met één paar evenwijdige zijden
  • oppervlakte: $\dfrac{(B+b)h}{2}$
    • grote basis $B$
    • kleine basis $b$
    • hoogte $h$
• parallellogram: vierhoek met twee paar evenwijdige zijden
  • oppervlakte: $bh$
    • breedte $b$
    • hoogte $h$
• ruit: parallellogram met vier gelijke zijden
  • oppervlakte: $\frac{Dd}{2}$
    • grote diagonaal $D$
    • kleine diagonaal $d$
• rechthoek: parallellogram met vier rechte hoeken
  • oppervlakte: $bh$
    • breedte $b$
    • hoogte $h$
• vierkant: rechthoek met vier gelijke zijden
  • oppervlakte: $z^2$
    • zijde $z$

Cirkels

• middelpunt $M$
• straal $r$
• koorde: lijnstuk met eindpunten op cirkel
• diameter: langst mogelijke koorde, gaat door $M$, lengte $2r$
• middelpuntshoek op een koorde $AB$ is de hoek $\widehat{AMB}$
• omtrekshoek is hoek $\widehat{APB}$ tussen koorden $AP$ en $PB$
  • half zo groot als middelpuntshoek op koorde $AC$
    • dus even groot voor eender welk punt $P$
• voor diameter $AB$ geldt
  • middelpuntshoek: $\widehat{AMB} = 180^\circ$
  • omtrekshoek: $\forall P$ op cirkel $: \widehat{APB} = 90^\circ$
• omtrek: $2\pi r$
• lengte cirkelboog met hoek $\varphi$ (in radialen)
  • als fractie van omtrek cirkel: $\frac{\varphi}{2\pi} \cdot 2\pi r=\varphi r$
  • zie ook meten van hoeken
• oppervlakte: $\pi r^2$
• oppervlakte cirkelsector met hoek $\varphi$ (in radialen)
  • als fractie van oppervlakte cirkel: $\frac{\varphi}{2\pi} \cdot \pi r^2=\frac{\varphi r^2}{2}$
• door drie niet-collineaire punten gaat juist één cirkel
• raaklijn aan cirkel staat loodrecht op straal naar raakpunt

Vergelijkingen van rechten, parabolen en cirkels

Rechten

• zie veeltermen van graad 1

Parabolen

• zie veeltermen van graad 2

Cirkels

• impliciete vergelijking: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$
  • $\iff x^2 - 2x_0 x + x_0^2 + y^2 - 2y_0 y + y_0^2 = r^2$
  • $\iff x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y = r^2 - x_0^2 - y_0^2$
  • in oorsprong: $x^2 + y^2 = r^2 \iff y = \pm\sqrt{r^2 - x^2}$
  • cf. stelling van Pythagoras

Andere kegelsneden (ellips, hyperbool)

Snijpunten van rechten met cirkels en parabolen

• algemene strategie
  • stel beide vergelijkingen aan elkaar gelijk
  • resulterende vergelijking is maximum van tweede graad
  • kan $0$, $1$ of $2$ reële nulpunten hebben
  • dit zijn de $x$-coordinaten van de snijpunten

Rechte-rechte

• $f(x) = mx+q$
• $g(x) = ax+b$
• kan enkel als $m \neq a$
• $f(x) = g(x)$
• $\iff mx+q = ax+b$
• $\iff (m-a)x=b-q$
• $\iff x = \frac{b-q}{m-a}$

Rechte-cirkel

• $f(x) = mx+q$
• herschrijf cirkelvergelijking naar vorm $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$
• noteer middelpunt en straal
• maak schets
• scenario's
  • snijdend: 2 snijpunten
  • rakend: 1 snijpunt
  • los: 0 snijpunten

Rechte-parabool

• $f(x) = mx+q$
• $g(x) = ax^2+bx+c$
• $f(x) = g(x)$
• $\iff ax^2 + bx + c = mx+q$
• $\iff ax^2 + (b-m)x + (c-q) = 0$
• zoek nulpunten

Cirkel-cirkel

• herschrijf beide vergelijkingen naar vorm $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$
• noteer beide middelpunten en stralen
• maak schets
• scenario's
  • overlappend
    • beide hebben zelfde vergelijking (op veelvoud na)
  • snijdend: 2 snijpunten
  • rakend: 1 snijpunt
    • optie 1: cirkels naast elkaar
    • optie 2: cirkels in elkaar
  • los: 0 snijpunten
    • optie 1: cirkels naast elkaar
    • optie 2: cirkels in elkaar

Cirkel-parabool

• aantal snijpunten kan oplopen tot vier
• $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$
• $\iff y_1 = +\sqrt{\ldots}$ en $y_2 = -\sqrt{\ldots}$
• $f(x) = ax^2+bx+c$
• $y_1 = f(x)$
• vereenvoudig
• zoek nulpunten
• herhaal voor $y_2 = f(x)$

Parabool-parabool

• $f(x) = ax^2+bx+c$
• $g(x) = dx^2+ex+f$
• $f(x) = g(x)$
• $\iff ax^2 + bx + c = dx^2+ex+f$
• $\iff (a-d)x^2 + (b-e)x + (c-f) = 0$
• zoek nulpunten

Het meten van hoeken in graden en radialen

• lengte cirkelboog met hoek $1 \text{ rad}$ is $r$ (per definitie)
• lengte cirkelboog met hoek $\varphi \text{ rad}$ is $r\varphi$
• omtrek cirkel is $2\pi r$, dus $360^\circ = 2\pi$
• $x^\circ = \frac{\pi x^\circ}{180^\circ} \text{ rad}$
• $y \text{ rad} = \frac{y \cdot 180^\circ}{\pi}$

De goniometrische cirkel, goniometrische getallen van hoeken en van verwante hoeken

Goniometrische cirkel

• TODO
• $\sin$: sinus
• $\cos$: cosinus
• $\tan$: tangens (soms ook $\tg$)
• $\cot$: cotangens
• $\sec$: secans
• $\csc$: cosecans

Functie	Formule	Periode	Domein	Bereik
$\sin\varphi$		$2\pi$	$\mathbb R$	$[-1,1]$
$\cos\varphi$		$2\pi$	$\mathbb R$	$[-1,1]$
$\tan\varphi$	$\dfrac{\sin \varphi}{\cos \varphi}$	$\pi$	$\mathbb R \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb Z\}$	$\mathbb R$
$\cot\varphi$	$\dfrac{\cos \varphi}{\sin \varphi}$	$\pi$	$\mathbb R \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb Z\}$	$\mathbb R$
$\sec\varphi$	$\dfrac{1}{\cos \varphi}$	$2\pi$	$\mathbb R \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb Z\}$	$\mathbb R \setminus \mathopen]-1, 1\mathclose[$
$\csc\varphi$	$\dfrac{1}{\sin \varphi}$	$2\pi$	$\mathbb R \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb Z\}$	$\mathbb R \setminus \mathopen]-1, 1\mathclose[$

• cirkel met straal $r=1$ en middelpunt in de oorsprong
  • vergelijking: $x^2+y^2=\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1^2$
• $x = \cos\varphi$
• $y = \sin\varphi$
• animatie

Goniometrische getallen van hoeken en van verwante hoeken

• zie ook formularium fysica

$\varphi$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin\varphi$	$\dfrac{\sqrt{0}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt 4}$
$\cos\varphi$	$\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt 4}$	$\dfrac{\sqrt{0}}{\sqrt 4}$

$\varphi$	$0^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
$\sin\varphi$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos\varphi$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\tan\varphi$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\cot\varphi$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$

• complementaire hoeken
  • $\sin(90^\circ - \varphi) = +\cos(\varphi)$
  • $\cos(90^\circ - \varphi) = +\sin(\varphi)$
• anticomplementaire hoeken
  • $\sin(90^\circ + \varphi) = +\cos(\varphi)$
  • $\cos(90^\circ + \varphi) = -\sin(\varphi)$
• supplementaire hoeken
  • $\sin(180^\circ - \varphi) = +\sin(\varphi)$
  • $\cos(180^\circ - \varphi) = -\cos(\varphi)$
• antisupplementaire hoeken
  • $\sin(180^\circ + \varphi) = -\sin(\varphi)$
  • $\cos(180^\circ + \varphi) = -\cos(\varphi)$
• tegengestelde hoeken
  • $\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)$
  • $\cos(-\varphi) = +\cos(\varphi)$

Goniometrische getallen in functie van de lengten van zijden in een rechthoekige driehoek

• $\sin \varphi=\frac{\text{overstaand}}{\text{schuin}}$
• $\cos \varphi=\frac{\text{aanliggend}}{\text{schuin}}$
• $\tan \varphi=\frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}}$

Goniometrische formules: grondformule, verdubbelingsformules

Grondformule

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\iff \tan^2 x + 1 = \sec^2 x$
• $\iff 1 + \cot^2 x = \csc^2 x$
• cf. stelling van Pythagoras
• drie formules komen overeen met drie driehoeken
  • zie groene, gele en blauwe driehoek in animatie

Verdubbelingsformules

• $\sin(2\varphi) = 2\sin(\varphi)\cos(\varphi) = \frac{2\tan(\varphi)}{1 + \tan^2(\varphi)}$
• $\cos(2\varphi) = \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) = \frac{1 - \tan^2(\varphi)}{1 + \tan^2(\varphi)}$
  • $\sin^2(\varphi) = \frac{1-\cos(2\varphi)}{2}$
  • $\cos^2(\varphi) = \frac{1+\cos(2\varphi)}{2}$
• $\tan(2\varphi) = \frac{\sin(2\varphi)}{\cos(2\varphi)} = \frac{2\tan(\varphi)}{1 - \tan^2(\varphi)}$

Minder belangrijke formules

• formules Simpson
• som- en verschilformules
• t-formules

Analyse

Veeltermfuncties

• zie veeltermen

Rationale functies

• breuk van twee veeltermfuncties: $\frac{p(x)}{d(x)}$
• nulpunt van $d(x)$
  • dat geen nulpunt van $p(x)$ is: verticale asymptoot in dat punt
  • dat ook nulpunt van $p(x)$ is: niet gedefinieerd ("gat") in dat punt
• vereenvoudig via Euclidische deling
  • cf. staartdeling voor gewone getallen
  • als graad $p(x) \geq$ graad $d(x)$
  • $\frac{p(x)}{d(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{d(x)}$ met graad $r(x) <$ graad $d(x)$
  • $\iff p(x) = q(x)d(x) + r(x)$

Irrationale functies

• uitbreiding van rationale functies met o.a. machtswortels

Goniometrische en cyclometrische functies

Goniometrische functies

• $f(x) = a\sin(\omega(x - x_0)) + y_0$
  • amplitude $a$
  • hoeksnelheid $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ [rad/s]
    • als $x$ de tijd voorstelt
    • TODO verplaats naar fysica
  • horizontale verschuiving $x_0$
  • evenwichtsstand $y_0$
• zie ook harmonische trilling bij fysica
• TODO
  • periodieke functie
  • periode, frequentie
  • min, max, nulpunten
  • plots
  • tan

Cyclometrische functies

• inverse functies van goniometrische functies
  • domain van goniometrische functies moet eerst beperkt worden
  • anders zijn de inversen geen functies
  • keuze is arbitrair en kan verschillen per cursus
• terminologie
  • Nederlands: boog... of bg...
  • Engels: arc... of a...
• $\arcsin : [-1,1] \to [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]: x \mapsto \varphi \iff x = \sin(\varphi)$
• $\arccos : [-1,1] \to [0, \pi]: x \mapsto \varphi \iff x = \cos(\varphi)$
• $\arctan : \mathbb R \to \mathopen]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\mathclose[ : x \mapsto \varphi \iff x = \tan(\varphi)$
• $\operatorname{arccot} : \mathbb R \to \mathopen]0, \pi \mathclose[ : x \mapsto \varphi \iff x = \cot(\varphi)$

Hyperbolische functies

Exponentiele en logaritmische functies

• exponentiële functie $\displaystyle\exp: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^+: x \mapsto \exp x = e^x$
  • rekenregels, zie machtsverheffing
• logaritme $\log_b: \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R} : x \mapsto \log_b x$
  • alternatieve notatie: ${}^b \log x$
  • $\log_b x = y \iff b^y = x \iff \sqrt[y]{x} = b$
    • "tot welke macht moet ik $b$ verheffen om $x$ te bekomen?"
  • basis $b \in \mathbb{R}_0^+ \setminus \{1\}$
    • binair logaritme: $b=2$
    • natuurlijk logaritme: $b=e$
    • (Briggse) logaritme: $b=10$
  • conventies
    • $\log x = \log_{10} x$
    • $\ln x = \log_e x$
    • andere cursussen kunnen andere conventies hanteren
  • rekenregels (cf. machten)
    • $\log_b 1 = 0 \iff b^0 = 1$
    • $\log_b b = 1 \iff b^1 = b$
    • $\log_b b^x = x \iff b^x = b^x$
    • $\log_b xy = \log_b x + \log_b y$
      • maar $\log_b (x+y) \neq \log_b x \cdot \log_b y$
    • $\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
    • $\log_b \frac{1}{x} = -\log_b x$
    • $\log_b (x^y) = y \log_b x$
    • $\log_b x = \dfrac{1}{\log_x b}$
  • verandering van basis $b$ naar $c \in \mathbb{R}_0^+ \setminus \{1\}$
    • $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$
    • $b^x = c^{x\log_c b}$

Rijen, reeksen en limieten

Afgeleiden

• definitie
  • eerste orde afgeleide
    • $\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$
  • hogere orde afgeleiden ($n \in \mathbb N, n > 1$)
    • $\frac{d^{(n)}}{dx^n} f(x) = f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)$
• interpretatie: $f'(x)$ is rico van raaklijn aan $f(x)$ in punt $(x, f(x))$
• rekenregels
  • $\frac{d}{dx} \sum_i a_i f_i(x) = \sum_i a_i \frac{d}{dx} f_i(x)$
  • $\frac{d}{dx} f(x)g(x) = \frac{df(x)}{dx} g(x) + f(x)\frac{dg(x)}{dx}$
  • $\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
• kettingregel
  • $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x)$
• inverse: $[f^{-1}]'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$
  • voorbeeld 1
    • $y = f(x) = x^2$
    • $f'(x) = 2x$
    • $x = f^{-1}(y) = \sqrt{y}$
    • dus $[f^{-1}]'(y)$
      • $= \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$
      • $= \frac{1}{f'(\sqrt{y})}$
      • $= \frac{1}{2\sqrt{y}}$
    • i.p.v. rechtstreeks afgeleide van $f^{-1}$ te berekenen
      • $[f^{-1}]'(y)$$= \frac{1}{2} y^{\frac{-1}{2}}$
      • $= \frac{1}{2\sqrt{y}}$
  • voorbeeld 2
    • $x = f(y) = e^y$
    • $f'(y) = e^y$
    • $y = f^{-1}(x) = \ln x$
    • dus $[f^{-1}]'(x)$
      • $= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
      • $= \frac{1}{f'(\ln x)}$
      • $= \frac{1}{e^{\ln x}}$
      • $= \frac{1}{x}$

Afgeleiden van eenvoudige functies

$f(x)$	$f'(x)$
$c$	$0$
$x^a$	$ax^{a-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x = e^{x \ln a}$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}$	$\dfrac{1}{x \ln b}$
$\sin(x)$	$+\cos(x)$
$\cos(x)$	$- \sin(x)$

Afgeleiden van cyclometrische functies

$f(x)$	$f'(x)$
$\arcsin(x)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos(x)$	$\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan(x)$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{arccot}(x)$	$\dfrac{-1}{1+x^2}$

• voorbeeld
  • $\theta = \arcsin(x) \iff x = \sin(\theta)$
  • $\dfrac{d\arcsin(x)}{dx}$
  • $=\dfrac{d\theta}{d\sin(\theta)}$
  • $=\dfrac{d\theta}{\cos(\theta)d\theta}$
  • $=\dfrac{1}{\cos(\theta)}$
  • $=\dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}$
  • $=\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Toepassing: functieverloop

• TODO
• nulwaarden
• tekenverloop
• raaklijnen
• stijgen en dalen
• extrema
• buigpunten
• asymptotisch gedrag
• (transformaties: translatie en schalen)

Partiële afgeleiden

Differentiaalvergelijkingen

Integratie

• definitie via Riemannsommen
• onbepaalde integraal $\int f(x)\,dx$
• bepaalde integraal $\int_a^b f(x)\,dx$
  • oppervlakte tussen curve en horizontale as van $x=a$ tot $x=b$
• hoofdstelling
  • voor continue functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ geldt
    • primitieve functie $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$
    • $F'(x) = f(x)$
• eigenschappen
  • $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
  • $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$
  • $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx \mid a \leq b \leq c$
  • $\int_a^b\sum_i a_i f_i(x)\,dx=\sum_i a_i\int_a^b f_i(x)\,dx$

Berekenen van primitieven en integralen via substitutie en partiële integratie

• substitutie
  • vervang $x$ door $y=u(x)$
  • $\displaystyle \int_a^b f[u(x)]u'(x)\,dx = \int_a^b f[u(x)]\,du(x) = \int_{u(a)}^{u(b)} f(y)\,dy$
• partiële integratie
  • $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dg(x) \overset{\text{P.I.}}{=} [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b g(x)\,df(x)$
• complexere technieken
  • partieelbreuken

Berekenen van de oppervlakte van vlakke figuren beschreven door eenvoudige functies

• klassieke toepassing van integralen
• opgelet: deel van $f(x)$ onder horizontale as telt voor integraal als negatieve oppervlakte
• oppervlakte en inhoud van omwentelingslichamen is geen leerstof

Integralen van eenvoudige functies

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \mid n \in \mathbb{N}$
$x^{-1}$	$\ln \vert x \vert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$a^x = e^{x \ln a}$	$\frac{a^x}{\ln(a)} + C$
$\ln x$	$x\ln x - x + C$
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$	$\frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$
$\sin(x)$	$-\cos(x) + C$
$\cos(x)$	$\sin(x) + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin(x) + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan(x) + C$

Statistiek en kansrekening

Telproblemen waarbij volgorde en herhaling al dan niet van belang zijn

• beter bekend als combinatoriek

Geordend	Teruglegging	Naam	Aantal	Voorbeeld
ja	zonder	variatie ($N\geq n$)	$\displaystyle V_n^N = \dfrac{N!}{(N-n)!}$	kies 2 uit $\{a,b,c\} \to (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)$
ja	zonder	permutatie ($N=n$)	$P_N = V_N^N = N!$	kies 3 uit $\{a,b,c\} \to (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)$
nee	zonder	combinatie	$\dbinom{N}{n} = \dfrac{V_n^N}{P_n} = \dfrac{N!}{n!(N-n)!}$	kies 2 uit $\{a,b,c\} \to \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}$
ja	met	multivariatie	$N^n$	kies 2 uit $\{a,b,c\} \to (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)$
nee	met	multicombinatie	$\left(\!\!\dbinom{N}{n}\!\!\right)=\dbinom{N+n-1}{n}$	kies 2 uit $\{a,b,c\} \to \{a, a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, b\}, \{b, c\}, \{c, c\}$

• opmerkingen
  • variatie - alle factoren in de noemer van $V_n^N$ komen ook in de teller voor en kan je dus schrappen
  • combinatie
    • $\dbinom{N}{n} = \dbinom{N}{N-n}$
    • $\dbinom{N}{0} = \dbinom{N}{N} = 1$
    • driehoek van Pascal: $\dbinom{N}{n} = \dbinom{N-1}{n-1} + \dbinom{N-1}{n}$

Kansen en voorwaardelijke kansen

• notatie: kans $P(A)$ op gebeurtenis $A$
• gebeurtenissen zijn verzamelingen van uitkomsten

Naam	Formule	Veralgemening	Opmerkingen
doorsnede ($A$ en $B$)	$P(A \cap B)$
unie ($A$ of $B$)	$P(A \cup B)$
complement	$P(A^\complement) = 1 - P(A)$	$P(A^\complement \mid B) = 1 - P(A \mid B)$
disjunct	$P(A \cap B) = 0$		dan is $A \cap B = \varnothing$
onafhankelijk	$P(A \cap B) = P(A)P(B)$		dan is $P(A \mid B) = P(A)$
productregel	$P(A \cap B \cap C) = P(C \mid A \cap B)P(B \mid A)P(A)$		nuttig in kansbomen
somregel	$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
regel van Laplace	$P(A) = \dfrac{\#A}{N}$		enkel als alles even waarschijnlijk
regel van Bayes	$P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B)P(B)}{P(A)}$
voorwaardelijke kans	$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$	$P(A \mid B \cap C) = \frac{P(A \cap B \mid C)}{P(B \mid C)}$	$P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$
wet van totale kans	$P(B)=\sum_k P(B \mid A_k)P(A_k)$		$A_k$ disjunct en $\sum_k P(A_k)=1$

Relatieve frequentie en kans

Steekproef (altijd discreet)

• steekproef $x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n$ van grootte $n$ uit bepaalde populatie
• (absolute) frequentie $freq_X(x_j)$
  • $\forall x_j: 0 \leq freq_X(x_j) \leq n$
  • $\sum_j freq_X(x_j) = n$
• proportie of relatieve frequentie $p_X(x_j) = \dfrac{freq_X(x_j)}{n}$
  • notatie: $p(X = x_j)$
  • $\forall x_j: 0 \leq p_X(x_j) \leq 1$
  • $\sum_j p_X(x_j) = 1$
• cumulatieve frequentie $\displaystyle cfreq_X(x_j) = \sum_{x_{j'} \leq x_j} freq_X(x_{j'})$
• cumulatieve proportie $\displaystyle F_X(x_j) = \sum_{x_{j'} \leq x_j} p_X(x_{j'})$
  • notatie: $p(X \leq x_j)$
  • $p(X \leq x_j) \neq p(X < x_j)$
  • $\displaystyle p(a \leq X \leq b) = p(X \leq b) - p(X < a) = \sum_{a \leq x_j \leq b} p_X(x_j)$
    • ongelijkheid in tweede term is strikt ($<$ en niet $\leq$)
• wet grote aantallen
  • gemiddelde van de resultaten van een groot aantal experimenten convergeert naar de verwachte waarde
  • voorbeeld met dobbelsteen
    • theoretische verwachte waarde van een worp $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$
    • experimenteel gemiddelde $\frac{3+5+2+1+2+6+\ldots}{N} \approx 3.5$

Populatie (discreet)

Populatie (continu)

• dichtheidsfunctie $\varphi_X(x)$
  • notatie: niet $P(X=x)$
  • $\forall x: 0 \leq \varphi_X(x) < +\infty$
  • $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_X(x)\,dx = 1$
• cumulatieve verdelingsfunctie $\displaystyle \Phi_X(x) = \int_{-\infty}^x \varphi_X(\tau)\,d\tau$
  • notatie: $P(X \leq x)$
  • $P(X \leq x) = P(X < x)$
• $\displaystyle P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = \Phi_X(b) - \Phi_X(a) = \int_a^b \varphi_X(x)\,dx$
  • $P(X = x) = P(x \leq X \leq x) = 0 \neq \varphi_X(x)$

Statistische gegevens, centrum- en spreidingsmaten en grafische voorstellingen van statistische gegevens

Centrummaten

• steekproefmodus
  • waarde $x_j$ met de hoogste frequentie $freq_X(x_j)$
  • niet altijd uniek, in dat geval meerdere modi
• steekproefmediaan $Me_x$
  • $=x_{\frac{n+1}{2}}$ als $n$ oneven
  • $=\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1} \right)$ als $n$ even
  • veronderstelling: $x_i$ gesorteerd van klein naar groot
• steekproefgemiddelde $\displaystyle \overline x = \dfrac{1}{n} \sum_i x_i = \dfrac{1}{n} \sum_j x_j freq_X(x_j) = \sum_j x_j p_X(x_j)$
• populatiegemiddelde $\mu_X$
• verwachte waarde of expected value $E[X] = \mu_X$

Spreidingsmaten

• steekproefvariantie
  • gemiddelde kwadratische afwijking t.o.v. het gemiddelde
  • $\displaystyle s_x^2 = \overline{(x - \overline x)^2} = \overline{x^2} - \overline{x}^2 \geq 0$
• steekproefstandaarddeviatie $s_x = \sqrt{s_x^2}$
• populatievariantie $\sigma_X^2 = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - E[X]^2 \geq 0$
• populatiestandaarddeviatie $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$

Grafische voorstellingen

• staafdiagram
• taartdiagram
• scatter plot
• TODO kansboom
• kruistabel

	$A$	$A^\complement$	Totaal
$B$	$P(A \cap B)$	$P(A^\complement \cap B)$	$P(B)$
$B^\complement$	$P(A \cap B^\complement)$	$P(A^\complement \cap B^\complement)$	$P(B^\complement)$
Totaal	$P(A)$	$P(A^\complement)$	$1$

	$A$	$A^\complement$	Totaal
$B$	$P(A \mid B)$	$P(A^\complement \mid B)$	$1$
$B^\complement$	$P(A \mid B^\complement)$	$P(A^\complement \mid B^\complement)$	$1$

De normale verdeling als continu model bij data met een klokvormige frequentieverdeling

• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
• $\displaystyle \varphi_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
  • functievoorschrift is niet belangrijk
  • symmetrisch
    • $P(X \leq \mu) = P(X \geq \mu) = 0.5$
    • $\forall a \in \mathbb R: P(X \leq \mu - a) = P(X \geq \mu + a)$
• standaardnormale verdeling $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

Interpretatie bij een normale verdeling van relatieve frequentie als oppervlakte van een gepast gebied

• beschreven door dichtheidsfunctie
• waarde van $\varphi(x)$ voor één $x$-waarde is betekenisloos
• enkel zinvol over bepaald interval via volgende formule
  • $\displaystyle P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = \Phi_X(b) - \Phi_X(a) = \int_a^b \varphi_X(x)\,dx$
• vuistregels
  • $P(-1 \leq Z \leq 1) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68$
  • $P(-2 \leq Z \leq 2) = P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.95$
  • $P(-3 \leq Z \leq 3) = P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$
  • meestal expliciet vermeld bij de vraag
  • altijd verder bouwen op symmetrie en deze vuistregels, niet zelf proberen de integraal uit te rekenen

$P(Z < -2)$	$P(-2 < Z < -1)$	$P(-1 < Z < 0)$	$P(0 < Z < 1)$	$P(1 < Z < 2)$	$P(Z > 2)$
$2.5\%$	$13.5\%$	$34\%$	$34\%$	$13.5\%$	$2.5\%$